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相関係数について その2

相関係数について検討しています。投資の基本的な考え方は、相関係数を参考にして、リスクを抑えながら、リターンを上昇させるというものです。国内株式と外国債券は最も相関が低いので、これを組み合わせることにより資産全体の変動が抑えられます。これは、海外投資の1つのメリットです。ただ、この相関係数概念の理解に誤りがあると、リスクを抑制しているつもりで、リスクが抑制されないことになるので注意が必要だと思います。この点、昨日の記事で紹介しましたように、週刊東洋経済の増刊号「投資信託ベストガイド2008年版」p.30に記載されている相関係数についての誤りを、リンク先の乙さんが指摘されています。意外と分かりにくい概念なのかもしれません。

「たとえばAという資産がプラスの方向に1動いたときに、Bという資産が動く方向と程度を簡単な数字で示すのです。Aが1に対して、Bの相関係数が 0.5 であれば、AとBの動きは同じですが、Aの上昇度に対しBの上昇度は半分になっているということです。」

ケース1)
 (A,B):(1,1)、(2,1.5)、(3,2)、(4,2.5)、(5,3)
ケース2)
 (A,B):(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)
ケース3)
 (A,B):(1,2)、(2,4)、(3,6)、(4,8)、(5,10)

週刊東洋経済の記事では、ケース1)が相関係数0.5の場合であると考えていると思います。そうすると、ケース2)、ケース3)は、それぞれ、相関係数が1と2になりますが、昨日の記事に書きましたように、相関係数は最大1なので、この考え方が誤りであることは明らかです。

正しくは、ケース1)からケース3)は、全て相関係数が1の事例です。変数Aが変化したときに、変数Bが同じ方向に、常に一定の動きを示せば相関係数は1です。この場合、Bの変化の幅は相関係数の値とは無関係です。

自転車のペダルをこぐと、それに連動して後輪が回転します。ギア比によって、後輪が何回転するかは変わりますが、ギア比が一定であれば、ペダル1回こげば、必ず一定回転数だけ前に進み、ペダルをこぐたびに、進まなかったり、あるいは逆進したりするということはありません。つまり、ペダルをこぐことと、後輪の回転数は、チェーンを通じて完全に連動しているわけであり、この状態を相関係数1にたとえることができるかもしれません。相関係数0.5というのは、全体としては前に進む傾向があるけれど、各々のペダルこぎ運動に際して、前に進むのか、後ろに進むのか定かではないというような状態です。

従って、週刊東洋経済が念頭に置いているのは、相関係数1の場合であって、相関係数0.5の場合ではありません。Aが1増えれば、Bが確実に0.5増えるというのであれば、二つの変数は完全に連動しているからです。

相関係数概念を誤解しながら、アセットアロケーションを組んでも、適切な投資にはなりませんので、注意が必要だと思います。

(続く)
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コメント

相関係数について

乙さんのところにも書きましたが、
二つの資産のあいだの相関係数は
資産価格の直接の値動きの関係を表わす数字ではなく、
リターンの期待値からのずれの関係を表わす数字です。

投資の世界でリスクと言えば、リターンが期待値から
どれだけずれる可能性があるかを表わす数字です
(リスク=リターンの標準偏差)。
相関係数についても同じように考えなければいけません。

この点をおさえておかないと、
「相関係数が負の二つの資産に分散投資すると、
リターンが互いに打ち消しあって減ってしまう」
というような誤解をしてしまうことになります。

数学の言葉を理解できる人向けの補足。
資産Aの1年後のリターンをXと書き、
資産Bの1年後のリターンをYと書くことにし、
X、Y の期待値(平均値)をそれぞれ m、n と書き、
標準偏差をそれぞれ s、t と書くことにします。
このとき、X と Y の相関係数とは
(X-m)/s と (Y-n)/t の積の期待値(平均値)のことです。
((X-m)/s の平均値は 0、標準偏差は 1 になる。)
コーシー・シュワルツの不等式から相関係数が
-1 以上 1 以下になることがすぐにわかります。
コーシー・シュワルツの不等式の等号成立の条件から
相関係数が±1になることと (Y-n)/t = ±(X-m)/s が
成立することが同値になることもすぐにわかります。
もしも X と Y の相関係数が -1 で s = t ならば
資産Aと資産Bに均等分散投資することによって
1年後のリターンの期待値からのずれが完全に相殺されて
確実に (m + n)/2 のリターンが得られることになるわけです。
実際にはここまでうまく行きませんが、
相関係数がたとえ正であっても分散投資にはリスク低減の効果があります。

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