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相関係数について その3

相関係数について検討しています。

いがぐりさんから、昨日の記事についてコメントをいただきました。私自身、大変勉強になりました。ありがとうございました。

いがぐりさんからご指摘いただいたどおり、「相関係数が負の二つの資産に分散投資すると、 リターンが互いに打ち消しあって減ってしまう」というような誤解をしてしまうと、相関係数が-1の二つの資産に分散投資すると、リターンが完全に打ち消しあってしまうので投資として意味がなくなるように勘違いしてしまいます。

いがぐりさんのコメントを参考にして、分散投資することの意味を考えてみます。

株式Aと株式Bの一年後の株価の期待値、標準偏差が同じだとします。

株式Aのみに、全資産をつぎこむと、株価が期待値から上方向に大きく外れたときには大儲けできますが、下方向に大きく外れたときには大損してしまいます。

株式Aと株式Bに、分散投資した場合でも、両者の相関係数が1であるとすると、同じ方向に完全に連動して株価が動くわけですので、「株価が期待値から上方向に大きく外れたときには大儲けできますが、下方向に大きく外れたときには大損してしまいます。」という状況に変わりはありません。形式的には分散投資していても、実質的には分散投資したことになっていません。

株式Aと株式Bに、分散投資した場合で、両者の相関係数が-1であるとすると、逆方向に完全に連動して株価が動きます。株式Aが期待値から上方向に大きく外れたときには、株式Bは期待値から下方向に大きく外れているので、常にブレなく期待値が得られることになります。「ブレなく期待値が得られること」を、「期待値がゼロになってしまう」と勘違いしがちだといえるでしょう。

いがぐりさんがおっしゃるように、相関係数がたとえ正であっても分散投資にはリスク低減の効果があることになります。相関係数が1の場合、分散投資の効果がなく(=1つの資産に集中しているのと同じ)、相関係数が-1の場合、完全な分散投資の効果を享受できる(=期待値がブレない)わけですので、相関係数がたとえ0<r<1であっても、期待値のブレを下げる効果はあることになります。
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コメント

この期待値とか標準偏差とかはすべて確率分布をモデル化して表現したものなので、相関係数も二つの資産の動きの関係の確立的な指数だとおもいます。1だと連動する確率が非常に高い、-1だと逆に動く確率が非常に高い、0だとランダム(無関係)。

ですので、例題に出されたような個別的事象に対する相関係数というのは、理屈としては適当ではないでしょう。 また、結果の説明に「常に」というようなこともなくて、「xxxという確率が高い」というべきではないでしょうか?

また、この理論全体が「金融資産の動きが正規分布の確立分布をもつ」「過去の平均と標準偏差が将来も変わらない」という前提に基づいているので適応する期間が短いと成立しないです。ですので、長期分散投資のモデルとしては広く使われてますが、例題のような短期の動きの説明にはあてはまらないでしょう。


Pineappleさん

コメントありがとうございます。

まず、問題を整理しますと、いがぐりさんがご指摘のように、相関係数に関して、以下の誤解が多いです。

誤解:相関係数が負だと、片方の資産価格が上がるときに、もう一方は下がる傾向になる。したがって相関係数が負の二つの資産に分散投資すると、リスクは減るが、リターンは互いに打ち消しあって減ってしまう。

そして、同じ誤解に基づくと思われる記事が週刊東洋経済の増刊号に記載されていました。「たとえばAという資産がプラスの方向に1動いたときに、Bという資産が動く方向と程度を簡単な数字で示すのです。Aが1に対して、Bの相関係数が 0.5 であれば、AとBの動きは同じですが、Aの上昇度に対しBの上昇度は半分になっているということです。」というくだりです。

その結果、誤解を正しいものと思い込んでしまう人が益々増えてしまうと予想されます。

いがぐりさんが、乙さんの記事のコメント欄で正解を述べておられます。

正解:相関係数が負だと、片方のリターンが期待値より上になるとき、もう片方のリターンは期待値より下になる傾向になる。相関係数がどうであっても、分散投資における期待リターンは分散投資先資産の期待リターンの荷重平均になる。相関係数が負であることが原因で期待リターンが下がることはない。

ゲーム1)
 100万円を賭けたときに、
 サイコロの目が2、4、6→150万円の利益
 サイコロの目が1、3、5→50万円の損失

ゲーム1の期待値がプラスでも、1/2の確率で50万円を失うのであれば参加する人は少ないと思います。

ゲーム2)
 100万円を賭けたときに、
 サイコロの目が1、3、5→150万円の利益
 サイコロの目が2、4、6→50万円の損失

ゲーム1)とゲーム2)を組み合わせて、それぞれに50万円ずつ投資すれば、常に50万円(=両ゲームの期待値)を得ることができます。

ゲーム3)
 100万円を賭けたときに、
 サイコロの目が2、4、5→150万円の利益
 サイコロの目が1、3、6→50万円の損失

ゲーム1)とゲーム3)を組み合わせると、

2と4の目が出たとき、150万円の利益
5と6の目が出たとき、50万円の利益
1と3の目が出たとき、50万円の損失

ゲーム4)
 100万円を賭けたときに、
 サイコロの目が2、3、5→150万円の利益
 サイコロの目が1、4、6→50万円の損失

ゲーム1)とゲーム4)を組み合わせると、

2の目が出たとき、150万円の利益
3、4、5、6の目が出たとき、50万円の利益
1の目が出たとき、50万円の損失

ゲーム1)のみ
 50万円の損失          150万円の利益
  1,3,5の目              2,4,6の目

ゲーム1)と3)
 50万円の損失  50万円の利益  150万円の利益
   1,3の目       5,6の目     2,4の目

ゲーム1)と4)
 50万円の損失  50万円の利益  150万円の利益
   1の目       3,4,5,6の目    2の目

ゲーム1)と2)
            50万円の利益
            1,2,3,4,5,6の目

いがぐりさんのコメントから、相関係数が1及び-1のときは、XとYが簡単な線形関係にあるので、相関係数が1の場合には、分散投資の効果が「全く」なく、相関係数が-1の場合には、分散投資の効果が「完全」となる、つまりリターンのブレを完全になくせることになります。

よくある誤解は、

ゲーム5)
 100万円を賭けたときに、
 サイコロの目が2、4、6→150万円の損失
 サイコロの目が1、3、5→50万円の利益

ゲーム1)と5)を組み合わせると、損失がなくなるが、利益がゼロになる。従って、分散投資は儲からない。

ただ、この結果は、ゲーム5)の期待値がマイナスになっているために生じたものです。

まずは、概念を掴むことが重要で、その後、適用場面を検討すればよいのではないでしょうか?短期投資に適用できないのではないかというご指摘はごもっともかと思います。



サイコロでの、わかりやすい例でのご説明ありがとうございます。

「期待値に対する偏差の関連を表現した数値」というのが要点ですね。

やはり「相関係数」というものを、「期待値」「標準偏差」という確率過程的な考えを抜きにして説明・理解すうことは難しいですね。どうしても「値動きの方向が同じになる確率」みたいなまちがったイメージを持ちそうになります。


Pineappleさんは、わざわざサイコロの例を挙げなくても、十分に理解しておられたと思いますが、誤解されていた初心者の方は、分散投資の意味がよく分かるのではないでしょうか?

実際には、相関係数が-1になることはありませんし、予測どおりにいくかどうかも分かりませんが、それ単独ではギャンブルにしか過ぎないゲーム1)とゲーム2)を組み合わせることで、投資になるという感覚をつかむことは重要だと思います。

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