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意味のある情報と意味のない情報 その2

南海魚さんから、以下の問題をいただきました。

「クイズ番組で優勝したものには最後に賞金を獲得するチャンスが与えられる。3つの箱A・B・Cのうち1つに賞金が入っている。優勝者はAを選択した。すると司会者は「ではまずCを開けてみましょう」といい、Cを開けるとハズレだった。そこで司会者は「どうしますか?今ならBに変えてもいいですよ?」と聞きました。
このときA,Bどちらが有利でしょうか?
(司会者は答えを知っています。) 」

ケース1-箱Aに賞金が入っている
ケース2-箱Bに賞金が入っている
ケース3-箱Cに賞金が入っている

クイズ番組を盛り上げるという性質上、いきなり優勝者が選んだ箱Aを開ける間抜けな司会者はいません。従って、まず、箱B又はCを開けるはずです。

問題では、司会者は、まず箱Cを開けています。箱Cを開けると空だったので、ケース1又はケース2に絞られます。「そうすると、確率は五分五分のように思われますが、この結論で正しいですか?」というのが、問題の問いかけだということになります。

しかし、よく考えてみると、司会者は答えを知っているので、ケース2に関しては、箱Bを開けるか、箱Cを開けるかは、司会者の意図に左右されるはずで、ケース2の場合には、司会者は常に箱Cを開けます。箱Bを開けると、その時点で結果が分かってしまうからです。一方、ケース1に関しては、箱Bを開けるか、箱Cを開けるかは司会者の意図に左右されないので、どちらの箱を開けるかは五分五分です。確率の教科書でよく出てくる、瓶の中に玉が入っているという事例でいうと、ケース1の場合には、玉Bと玉Cが入っているのに対して、ケース2の場合には、玉Cしか入っていないのと同じことです。

結局、ケース2において箱Cが開けられた確率はケース1において箱Cが開けられた確率の2倍になるということですね。Bの方が有利だということになります。

囚人の問題とは反対に、このケースでは司会者が箱Cを開けたという情報は意味のある情報だということです。設問においても、司会者に事前の知識がなければ(あるいは、優勝者の指示でCを開けたのだとすれば)、確率は五分五分になるということでしょうか?

こう考えると、何が意味のある情報かを判別することは、非常に難しいものです。危機を煽るシナリオと抱き合わされて、正常な判断力を失わされているのであれば、なおさらです。






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コメント

脱帽です

PALCOM様
コメントを取り上げて頂きありがとうございます。
解答は完璧です。何も付け加えることはありません。
これからも勉強になる知的な話題を期待してます。

Re: 脱帽です

類題をお送りいただきありがとうございました。

囚人の問題では、確率が2/3から1/2に減るように感じるのに、実はそうではないというパラドックスでした。意味がありそうで、実は意味がない情報の例ですね。

クイズ番組の問題では、確率が1/2のように見えるので解答を変えなくてもよいように感じるのに、実はそうではないというパラドックスです。意味がなさそうで、実は意味がある情報の例ですね。

直観は当てにならないという好例ですね。こういう問題の場合には、論理的に解答を導ける人でも感情的には納得できないことがあり得るかもしれません。

問題では、司会者が正解を知っていることが前提になっていますが、実社会では、そもそもその前提を信じてよいのかも問題になりますね。

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