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ドルコスト平均法少考 その3

前々回の記事

------------------------------------------------------------
「時間的に分散することによって購入単価の期待値は下がるのか?」
以下の状況を想定します。
・投資金額=900円
・3つの時点における株価は50円、100円、150円のうちいずれかであり、3つの時点の株価は全て異なる。
<考え方1>
 ①ドルコスト平均法を使用した場合:
 900円を3回に分けて投資することになる。
 株価50円のときには、6株購入できる。
 株価100円のときには、3株購入できる。
 株価150円のときには、2株購入できる。
 従って、計11株購入できる。
 ②ドルコスト平均法を使用しなかった場合:
 900円を1回投資することになるが、株価は50円、100円、150円のうちのいずれかであるので、購入する際の株価の期待値は100円である。従って、購入株式数の期待値は、900円/100円=9株である。
 結論:ドルコスト平均法を使用した場合の方が購入株式数が多くなるので、平均購入単価が下がっている。

<考え方2>
 ①ドルコスト平均法を使用した場合:
 900円を3回に分けて投資することになる。
 株価が50円のときには、6株購入できる。
 株価が100円のときには、3株購入できる。
 株価が150円のときには、2株購入できる。
 従って、計11株購入できる。
 ②ドルコスト平均法を使用しなかった場合:
 900円を1回投資することになる。
 株価50円のときに投資すれば、18株購入できる。
 株価が100円のときに投資すれば、9株購入できる。
 株価が150円のときに投資すれば、6株購入できる。
 購入可能な株式数の期待値は、(18+9+6)/3=11株である。
 結論:ドルコスト平均法を使用した場合でも購入株式数は変わらないので、平均購入単価は下がらない。
------------------------------------------------------------

投資に詳しい方が多いので、有利でも不利でもない(考え方1は誤り)というコメントをいただきました。結論的には、ドルコスト平均法は一括投資に比べて、有利でも不利でもなく、購入単価の期待値は同じです。

ただ、この結論を知っていても、考え方1と考え方2の差をはっきり理解していない方がいるようなので、話題として取り上げてみました。

簡単に言えば、本来重み付けした平均を使用して計算すべきなのに、単純平均を使用して計算している点が誤りです。

<重み付けした平均を使用すべき例 その1>
債券の期待リターンは年利5%であり、株式の期待リターンは年利10%である。Aのポートフォリオは、債券が70%、株式が30%である。Aのポートフォリオの期待リターンは?

この場合、債券と株式の割合が異なるので、単純平均=7.5%を使用すべきでないのは明瞭です。

重み付けした平均:5%×0.7+10%×0.3=6.5%が期待リターンになります。

これは、単純平均を使用すべきでないのが明瞭な例です。

<重み付けした平均を使用すべき例 その2>
A地点からB地点を往復する際に、往路は平均速度30km/h、復路は平均速度60km/hであった。往復の平均速度は?

これは、単純平均を使用してはいけないことが直感的には分かりにくい例です。

A地点からB地点までの距離が60kmであるとすると、往路は2時間、復路は1時間かかっていますので、120km/3時間=40km/hが平均速度となります。

何故単純平均ではダメかというと、30km/hで走っている時間の方が長いので、30km/hを加重してやる必要があるからです。

重み付けした平均:30*2+60*1/(2+1)=40km/hが平均速度です。

<一括投資する場合>
 900円を1回投資する。
 株価が50円のときに投資すれば、18株購入できる。
 株価が100円のときに投資すれば、9株購入できる。
 株価が150円のときには、6株購入できる。

 株価が安い時には、購入できる株式数が多くなるので、期待値を求める際にも、その事実を反映させる必要があります。従って、重み付けした平均を使用して、購入単価の期待値を求めなければなりません。この場合、平均購入単価は、必ず単純平均より低い値になります。

重み付けした平均:50*18+100*9+150*6/(18+9+6)=81.81円が購入単価の期待値であり、これは、ドルコスト平均法の平均購入単価と同じです。

 つまり、考え方2が正しく、結論的には、一括購入とドルコスト平均法の購入単価の期待値には差がないことになります。

 ちなみに、考え方1は、数量固定方式で積み立てた場合の平均購入単価の求め方です。数量固定方式の場合には、各回の購入株式数が同じなので重み付けしてやる必要がなく、単純平均がそのまま平均購入単価になるからです。従って、考え方1は、数量固定方式の積み立てがドルコスト平均法より不利であることの説明であって、一括購入方式がドルコスト平均法より不利であることの説明とはなり得ません。

 なお、ドルコスト平均法が機能する前提は、株価を予測できないことですので、一括購入方式とドルコスト平均法の有利不利を比較する場合には、株価が予測できないことが当然の前提として存在しています。「事後的に見て株価が明らかになる」ことと、「事前に株価が明らかである=予測可能である」こととをきっちり峻別せずに議論している場合があるので注意が必要だと思います。一括購入方式とドルコスト平均法の有利不利を比較している場合、株価が予測できないことが当然の前提とされていることには十分な注意が必要です。株価が予測できるのであれば、ドルコスト平均法が不利になることは当然だからです。

さて、一括購入方式とドルコスト平均法の有利不利についての上記議論ですが、これは、変数が2つ(株価と為替)になった場合でも同じことがいえるのでしょうか?本ブログは海外投資に関するブログなので、この点は検討しておく必要があります。海外投資は複雑なので、投資の基礎をしっかりしておくことが、重要であるように思います。

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コメント

期待値の計算

次のような大前提でコメントします。
但し金融の専門家ではありませんので、その点は含み置きください。m(_ _)m

----
PALCOMさんのおっしゃる「一括投資」は
「ここぞと決めたときに900円全額を投資する、そのときの株価は1/3の確率
で50円,100円,150円のいずれかである。」

同じく「ドルコスト平均法」は
「900円を3回(1回300円)に分けて投資する。各回の購入時の単価は1/3の確率
で50円,100円,150円のいずれかである。」
----

さて、期待値ですが 期待値=∑(ある値)×(ある値が実現する確率) です
ので、本日のエントリの記述には少々難があると思います。

50,100,150円の値となる確率がそれぞれ等しければ、一括投資での購入単価
の期待値は、

 50*(1/3)+100*(1/3)+150*(1/3) = (50+100+150)/3 = 100

です。


エントリ中の、

 (50*18+100*9+150*6)/(18+9+6)

という式は、50円で18株、100円で9株、150円で6株買ったときの全体として
の平均購入単価(加重平均)の計算の式です。

一方、ドルコスト平均法での購入単価の期待値ですが、88.2215円になります。
(50,100,150の3つの値の順列の数は27(=3x3x3)、それぞれの場合での購入総
数とその場合の数を列挙すると次の通り。1通りの実現する確率はお互いに等
しく1/27です。ですので、例えば11株買える確率は6/27となります

6株 1通り
7 3
8 3
9 1
10 3
11 6
12 3
14 3
15 3
18 1
  計 27通り )

期待値は平均とほぼ同じ意味、と教科書には書いてありますが、期待値を考え
る時には確率分布を考えなくてはいけません。

50円で18株買える、のはいいとして、この場合は18株で重みをつけるのではな
く、「50円で買える確率」で重みをつけて計算します。

ドルコスト平均法も、50円,100円,150円で3回買う以外にも、50,50,50や150,150,
150(他多数)というケース(とその確率)を考慮に入れて期待値を計算します。

本コメントでは、すべてが既知として計算しましたが、一般には株価とその実現
確率は知りえません。


>一括購入方式とドルコスト平均法の有利不利を比較している場合、株価が予測
>できないことが当然の前提とされていることには十分な注意が必要です。

「株価が予測できないことが当然」というのは極めて妥当な前提だと思います。
むしろ、「株価が予想できることが当然の前提」の議論の方が、「十分な注意」
が必要なんではないでしょうか?

結局、900円投資する際に、たまたま100円の時に全部投資してしまうか、その日
は450円だけにして、残りは次の日にする。次の日は50円になるか100円になるか
150円なのかはわからない。
50円だったらラッキーだし、150円だったら昨日のうちに買っておけば良かった、
となる。
そのリスクをどう考えるかで有利不利の感じ方も変わってくると思います。

ま さん

コメントありがとうございます。

結論がよく分からなかったのですが、ドルコスト平均法と一括平均法を比べると、購入できる株数の期待値は同じであるという結論自体は同意されるのでしょうか?

>一方、ドルコスト平均法での購入単価の期待値ですが、88.2215円になります。
(50,100,150の3つの値の順列の数は27(=3x3x3)、それぞれの場合での購入総
数とその場合の数を列挙すると次の通り。
→記事に記載されているものとは、想定している場面が異なりますが、このように考えなければドルコスト平均法と一括投資法の比較はできないという趣旨でしょうか?50円、100円、150円という株価は任意に計算しやすい数字を選んだだけですので、100円、100円、150円という株価推移でも構わないのですし、変数でも構いませんが、ここでは、そのような株価推移は想定しておりません。ある任意に選んだ株価推移の下でドルコスト平均法と一括投資法に差がないことが分かれば有利不利は分かるので、100円、100円、150円という株価推移になる確率まで求める必要はないと思います。

株価が予測できないことが当然」というのは極めて妥当な前提だと思います。
むしろ、「株価が予想できることが当然の前提」の議論の方が、「十分な注意」
が必要なんではないでしょうか?
→50円、100円、150円という株価は予め明らかであったわけではなく、事後的に見てそのような株価推移であったというだけなのですが、この点を誤解している方がいたので注意を喚起した次第です。




残念ながら結論には不同意です

一括投資の期待値は、前のコメントの通り100円にな
ります。

また、ドルコスト平均法の期待値も、確率抜きには
計算できません。
50,100,150円の時それぞれ300円分購入する、とい
うのは、実現可能なケースからある一つのケースを
特定してしまっていますので、それで計算したもの
は「期待値」ではなく、その場合の平均購入単価に
なります。
例えば、100,100,150という推移であれば、総額900
円で8株ですので、平均購入単価は112.5円となりま
す。

計算の内容の話では、本題からそれている感じがし
ますね(^^)

要は、こういうことではないでしょうか。
株を買いたいと思っている。
今日明日明後日のどれか一日でガツンと買うほうが
いいのか。
それとも今日明日明後日で一定額づつ買うほうがい
いのか。
定量的な評価は前もっては不可能ですが、定性的に
言えるのは、ドルコスト平均法のほうが平均購入単
価がその3日間の高値安値の範囲の比較的真ん中近く
に収まるだろう、ということです。
それを有利不利と考えるのは人それぞれと思います。

コメントありがとうございます。

もう一度整理してみます。

株を買いたいと思っている。
今日明日明後日のどれか一日でガツンと買うほうが
いいのか。
それとも今日明日明後日で一定額づつ買うほうがい
いのか。

私の結論は、「ドルコスト平均法のほうが当たりはずれがないというだけで、一括投資と比べてより多くの株を購入できるわけではない。」というものです。

ま、さんの結論は、「ドルコスト平均法での購入単価の期待値ですが、88.2215円・・・一括投資での購入単価
の期待値は、100円」ですが、単にバラつきが小さくなるだけではなく、ドルコスト平均法の方がより多くの株を購入できるという意味で有利だというご意見なのでしょうか?

最初にいただいたコメント従って平均という表現を止めて、期待値と言う表現を用いたために誤解を招いてしまったのかもしれません。

「エントリ中の、

 (50*18+100*9+150*6)/(18+9+6)

という式は、50円で18株、100円で9株、150円で6株買ったときの全体として
の平均購入単価(加重平均)の計算の式です。」
→おっしゃるとおり、ここで議論しているのは平均購入単価です。この記事を書いたのは、平均購入単価を単純平均で求めて、ドルコスト平均法は一括購入法より有利である(=平均購入単価が下がる)と誤解している人がいたからです。


ま、さん

50円、100円、150円だと計算が面倒なので、50円、100円で計算するとどうなるのでしょうか?

50円 50円
100円 50円
50円 100円
100円 100円

50円と100円の数は同じなので、株価が50円のときに購入する確率と株価が100円のときに購入する確率は等しい。従って、一括購入での購入株価の期待値は75円。

ドルコスト平均法を使用した場合の購入株価の期待値はこれより低くなるというご意見でしょうか?

PALCOMさん、コメントにお付き合いいただいてあり
がとうございます。

ご質問の件、2回に分けて投資するとき、1回目も
2回目も、50円かもしれないし100円かもしれない、
と考えると、期待値は70.85円になります。

一方、後講釈的に、例えば、15日は50円だった、
16日は100円だった、という状況を設定すると、平
均購入単価は66.7円です。

また、一括投資の「期待値」の計算では、場合の数
を数える必要はないと思います。
50円か100円か、二者択一ですので、
 50*(1/2)+100*(1/2) = 75
になります。
例えば、50,100,150,200の4つであれば、
 50*(1/4)+100*(1/4)+150*(1/4)+200*(1/4) = 125
です。
それぞれの値が対等の立場になりますので、単純平
均と一致することになります。

私の結論は、「ドルコスト平均法の方が、一括投資
の最悪の場合よりも、すこしはマシになる結果を得
る可能性が高い。但し、実現可能な最高の結果は一
括投資のそれと一致し、上回ることはない。」です。

尚、話がややこしくなるので伏せていましたが、
「購入株数の期待値」を計算すると、どちらも同じ
になってしまいます。
(50円,100円のケースでは3株)

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